도파관의 Guided wavelength(WR284 도파관 예시)

WR284 도파관은 직사각형 파동 가이드(rectangular waveguide)로, 주로 마이크로파 및 RF 신호 전송에 사용됩니다. 도파관에서의 guided wavelength (λ_g)는 전자기파가 도파관 내부를 전파할 때, 그 경로와 특성에 따라 달라집니다.

도파관에서의 Guided Wavelength

도파관에서의 guided wavelength는 자유 공간에서의 파장( $\lambda_g​$ )과 도파관의 cutoff wavelength( $\lambda_c$​ )에 의해 결정됩니다. 일반적으로 다음 공식으로 구할 수 있습니다:

 

$$\lambda_g = \frac{\lambda_0}{\sqrt{1 - \left(\frac{\lambda_0}{\lambda_c}\right)^2}}$$

​​

여기서:

• $\lambda_g​$는 도파관 내에서의 guided wavelength입니다.
• $\lambda_0$는 자유 공간에서의 파장입니다.
• $\lambda_c$​는 도파관의 cutoff wavelength입니다.

WR284 도파관의 특성

WR284 도파관의 주요 특성은 다음과 같습니다:

• 내부 단면 크기: 2.84 inches x 1.34 inches (72.136 mm x 34.036 mm)
• cutoff 주파수 (TE₁₀ 모드): 약 2.08 GHz
• cutoff wavelength ($\lambda_c$​): 약 144 mm

예제 계산

1. 자유 공간 파장 계산: $\lambda_0 = \frac{c}{f}$​ 여기서 ccc는 빛의 속도 (약 3 X 10^8 m/s), $f$는 주파수입니다.
2. Guided Wavelength 계산: 주파수가 3 GHz일 때의 guided wavelength를 계산해 보겠습니다.
   • 자유 공간 파장: $\lambda_0 = \frac{3 \times 10^8}{3 \times 10^9} = 0.1 \text{ meters} (100 \text{ mm})$
   • Guided Wavelength: $\lambda_g = \frac{100}{\sqrt{1 - \left(\frac{100}{144}\right)^2}}$ ≈ 139.1 mm

따라서, WR284 도파관에서 주파수가 3 GHz일 때의 guided wavelength는 약 139.1 mm입니다.

이와 같은 방식으로 다른 주파수에 대해서도 guided wavelength를 계산할 수 있습니다.

 

 

왜 자유공간일때와 도파관 내부에서와 파장의 길이가 차이가 나나요?

 

도파관에서 전파되는 전자기파의 guided wavelength가 자유 공간에서의 파장과 다른 이유는 다음과 같은 물리적 특성 때문입니다.

도파관의 물리적 구조와 전자기파 모드

1. 경계 조건: 도파관은 전자기파를 금속 경계 내에서 전파시키며, 이러한 경계 조건이 전자기파의 전파 특성을 변경합니다. 금속 경계는 전자기파의 반사와 모드 형성을 유도하여, 전파되는 파동의 파장을 변경합니다.
2. 모드의 형성: 도파관에서는 전자기파가 특정한 모드로 전파됩니다. 가장 일반적인 모드는 TE₁₀ 모드로, 이 모드에서는 전기장이 도파관의 넓은 벽에 평행하게 배열됩니다. 이러한 모드는 도파관의 치수에 따라 cutoff 주파수가 존재하며, 이 주파수 이하에서는 전파되지 않습니다.
3. Cutoff 주파수와 파장: 도파관의 cutoff 주파수는 전자기파가 도파관을 통해 전파될 수 있는 최소 주파수를 의미합니다. cutoff 주파수보다 낮은 주파수에서는 전자기파가 전파되지 않고, 그 이상에서는 특정 모드로 전파됩니다. 이 cutoff 주파수는 도파관의 물리적 치수에 의해 결정됩니다.
4. 파장의 변화: 자유 공간에서는 전자기파가 장애물 없이 직진하지만, 도파관 내부에서는 금속 벽에 의해 다중 반사되고 특정한 경로를 따라 전파됩니다. 이는 전자기파의 유효 경로 길이를 증가시켜 파장을 변경하게 됩니다.

수학적 설명

자유 공간에서의 파장 $\lambda_0$​와 도파관 내부에서의 파장 $\lambda_g$​ 간의 관계는 다음과 같습니다:

$$\lambda_g = \frac{\lambda_0}{\sqrt{1 - \left(\frac{\lambda_0}{\lambda_c}\right)^2}}$$​

이 공식에서 볼 수 있듯이, 도파관의 cutoff 파장 $\lambda_c$​에 가까워질수록 $\lambda_g$​는 급격히 증가합니다. 이는 도파관 내부에서 전자기파가 전파될 때, 자유 공간에서보다 더 긴 경로를 따라 전파되기 때문입니다.

예제 비교

자유 공간에서 주파수가 3 GHz일 때 파장 $\lambda_0$​는 100 mm입니다. 하지만 WR284 도파관 내부에서 같은 주파수에서의 파장 $\lambda_g$​는 약 139.1 mm입니다. 이는 도파관의 경계 조건과 모드 형성에 의해 전파 경로가 길어지기 때문입니다.

이런 이유로 도파관 내부의 guided wavelength는 자유 공간에서의 파장과 크게 다를 수 있습니다. 도파관 설계 시 이러한 특성을 고려하여 설계하고 사용합니다.

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Frequency (GHz)	Free Space Wavelength (mm)	Guided Wavelength (mm)	Ratio (λg/λ0)
2.1	142.86	1136.15	7.95
2.2	136.36	424.38	3.11
2.3	130.43	307.84	2.36
2.4	125	251.78	2.01
2.5	120	217.09	1.81
2.6	115.38	192.86	1.67
2.7	111.11	174.67	1.57
2.8	107.14	160.36	1.5
2.9	103.45	148.71	1.44
3	100	138.98	1.39
3.1	96.77	130.69	1.35
3.2	93.75	123.51	1.32
3.3	90.91	117.22	1.29
3.4	88.24	111.65	1.27
3.5	85.71	106.67	1.24
3.6	83.33	102.18	1.23
3.7	81.08	98.11	1.21
3.8	78.95	94.4	1.2
3.9	76.92	90.99	1.18
4	75	87.86	1.17

 

 

도파관의 Lower cutoff frequency와 upper cutoff frequency 중 어느걸 사용해서 계산해야 되나요?

 

도파관의 cutoff frequency는 도파관의 모드와 관련된 주파수입니다. 일반적으로 도파관의 cutoff frequency는 특정 모드의 전파가 시작되는 가장 낮은 주파수를 의미합니다. 도파관의 경우, 주로 TE₁₀ 모드의 lower cutoff frequency를 사용하여 계산합니다. 상위 모드가 전파되는 주파수는 upper cutoff frequency라고 할 수 있지만, 기본적인 TE₁₀ 모드의 경우 upper cutoff frequency가 따로 정의되지 않습니다.

 

도파관에서 전파되는 주파수가 lower cutoff frequency보다 높고 upper cutoff frequency보다 낮은 범위에 있을 때 도파관이 정상적으로 작동합니다.

 

따라서 guided wavelength 계산 시에는 주로 lower cutoff frequency를 사용합니다. WR284 도파관의 lower cutoff frequency는 TE₁₀ 모드에 해당하는 약 2.08 GHz입니다. 이를 기준으로 guided wavelength를 계산해야 합니다.

 

따라서 앞서 설명드린 계산 방법은 맞습니다. 이때 upper cutoff frequency는 도파관이 특정 모드에서 상위 모드로 전환되는 주파수를 의미하며, 상위 모드의 cutoff frequency는 다른 모드에서의 전파 시작 주파수를 의미합니다. 이 값을 사용하는 경우는 모드를 전환하거나, 상위 모드의 특성을 고려할 때입니다.

 

따라서, 주파수 범위가 lower cutoff frequency보다 높은 경우, lower cutoff frequency를 사용하여 guided wavelength를 계산하는 것이 맞습니다.