디스크에 형성된 반경방향 온도구배에 따른 열응력의 계산 및 해석

오늘은 디스크에 균일하게 입사하는 열에 의한 열응력을 계산해보고자 합니다. 

 

형상 및 가정

- 원형 디스크, 반지름 $R$

- 얇은 평판 → plane stress 조건

- 축대칭 (모든 물리량은 r에만 의존, $\theta$ 에 무관)

- 온도 분포: $T=T(r)$

- 재료는 선형 탄성, 등방성

- 구속 조건은 내부 응력만으로 평형을 이룬다고 가정 (즉, 외력 없이도 내부 응력 존재) 

 

1. 변형률 - 변위(Strain - Displacement) 관계

축대칭이므로, 변위는 반지름 방향으로만 존재하므로 u=u(r)이며, strain은 다음과 같다. 

$${ϵ}_r=du/dr,ϵ=u/r$$

$ϵ=u/r$ 은 원주방향 strain이기 때문에, 원주가 반경방향으로 팽창함에 따른 원주의 길이 증가를 생각하면 된다. 

단위 원주를 $L_0=r\cdot d\theta$ 이라고 할때, 축대칭 팽창하게 되면 이 단위 원주는 $L=(r+u(r))\cdot d\theta$가 되므로, 변형률은 $ϵ=(L-L_0)/L=u/r$이 된다. 

 

2. Stress-strain 관계

등방성재료에서 열팽창이 없는 경우의 일반적인 Hooke's law는 다음과 같다. 

$${\sigma }_r=\frac{E}{1-{\nu }^2}({ϵ}_r+\nu {ϵ}_{\theta })$$

$${\sigma }_{\theta }=\frac{E}{1-{\nu }^2}({ϵ}_{\theta }+\nu {ϵ}_r)$$

 

여기서 자유열팽창을 빼서 기계적 strain만을 고려하게 되면 다음과 같아진다. 

$${\sigma }_r=\frac{E}{1-{\nu }^2}({ϵ}_r+\nu {ϵ}_{\theta }-\alpha (1+\nu )T(r))$$

$${\sigma }_{\theta }=\frac{E}{1-{\nu }^2}({ϵ}_{\theta }+\nu {ϵ}_r-\alpha (1+\nu )T(r))$$

 

3. 요소에 대한 힘평형방정식

 

$$\frac{d{\sigma }_r}{dr}+\frac{{\sigma }_r-{\sigma }_{\theta }}{r}=0$$

$rd\theta ,dr,(r+dr)\theta$ 로 구성된 고리의 미소요소에 ${\sigma }_r(r),{\sigma }_{\theta },{\sigma }_r(r+dr)$을 넣고 힘평형 방정식을 세우면 구할 수 있다. 

 

4. 미분방정식 구성

$$\frac{d^{2}u}{d{r}^2}+\frac{1}{r}\frac{du}{dr}-\frac{u}{r^2}=\frac{(1+\nu )\alpha }{1-\nu }(\frac{dT}{dr}+\frac{\nu }{r}T)$$

u에 대해서 stress와 strain을 정리하며 구성하면 위 미분방정식을 얻을 수 있다. 

 

5. 미분방정식의 해

$${\sigma }_r(r)=\frac{E\alpha }{1-\nu }[\frac{1}{r}{\int }_0^{r}T(\rho )d\rho +\nu {\int }_r^R\frac{T(\rho )}{\rho }d\rho -T(r)]$$

$${\sigma }_{\theta }(r)=\frac{E\alpha }{1-\nu }[\frac{1}{r}{\int }_0^{r}T(\rho )d\rho +\nu {\int }_r^R\frac{T(\rho )}{\rho }d\rho -\nu T(r)]$$

 

 

예제: 균일 입사열 온도 구배에 따른 응력 분포

$$T(r)=T_0+\mathrm{\Delta }T(1-\frac{r^2}{R^2})$$

 

$${\sigma }_r(r)=\frac{E\alpha \mathrm{\Delta }T}{1-\nu }(\frac{1-2(r/R{)}^2}{4})$$

$${\sigma }_{\theta }(r)=\frac{E\alpha \mathrm{\Delta }T}{1-\nu }(\frac{1+2(r/R{)}^2}{4})$$

 

Thermal Stress Distribution

Young's Modulus E (GPa): Coefficient α (×10⁻⁶ /°C): Initial Temp T₀ (°C): Temp Change ΔT (°C): Poisson’s Ratio ν: Disk Radius R (mm):