전쉬스(Presheath)와 전자 전류, 그리고 플로팅 전위

이온이 봄속도로 가속되는 구간을 전쉬스라고 한다. 전쉬스에서는 전위차가 $kT_e/2e$이므로 볼츠만 관계에 따라서 전자의 밀도는 플라즈마에 비해서 $e^{-1/2}\approx0.61$배 감소하게 된다. 따라서 쉬스 경계에서는 전자와 이온의 밀도가 $0.61n_0$가 된다. 이온 선속은 봄속도를 이용해 $0.61n_0 u_B$로 표현할 수 있고, 전자 선속은 포텐셜 우물을 넘어가는 고속 전자들을 고려해야 한다. 
 
전자 속도 분포 함수는 다음과 같다. 
$$ f(v_x) = n_0 (\frac{me}{2\pi kT_e})^{1/2} \text{exp} (- \frac{m_e v_x^2}{2kT_e}) $$
 
벽에 도달 가능한 전자의 조건은 벽 방향으로 플로팅 전위와 플라즈마 전위를 모두 뛰어넘을 수 있는 속도를 가진 전자이다. 
$$\frac{1}{2}m_e v_x^2 \geq e(V_p-V_f) \Rightarrow v_x \geq v_{min} = \sqrt{\frac{2e(V_p - V_f)}{m_e}} $$
 
이를 전자 선속식에 넣으면 고속 전자들의 선속을 얻을 수 있다. 
$$\Gamma_e = \int_{v_{min}}^\infty v_xf(v_x)dv_x $$
$$ = n_0 (\frac{m_e}{2\pi kT_e})^{1/2} \int_{v_{min}}^\infty v_x \text{exp} (- \frac{m_e v_x^2}{2kT_e}) dv_x $$
 
변수를 다음과 같이 치환한다.
$$ \xi = \frac{m_e v_x^2}{2kT_e} \Rightarrow d\xi = \frac{m_e v_x^2}{kT_e}v_x \Rightarrow dv_x = \frac{kT_e}{m_e v_x} d\xi $$
$$v_xdv_x = \frac{kT_e}{m_e} d\xi$$
위 결과를 이용해 적분을 정리하면 
$$\Gamma_e = n_0 (\frac{m_e}{2\pi kT_e})^{1/2}\int_{\xi_{min}}^\infty \frac{kT_e}{m_e} \text{exp} (-\xi) d\xi$$
 
여기서 $\xi_{min} = \frac{m_e v_{min}^2}{2kT_e}=\frac{e(V_p-V_f)}{kT_e}$ 이므로, 전자선속식은 다음과 같이 정리할 수 있다. 
$$\Gamma_e  = n_0 (\frac{m_e}{2\pi kT_e})^{1/2} \text{exp}(- \frac{e(V_p-V_f)}{kT_e}) = \frac{1}{4}n_0 \bar{v_e} \text{exp}(-\frac{e(V_p-V_f)}{kT_e}) $$
 
이온 선속과 전자선속이 같다고 놓고 정리하면 다음과 같은 결론을 얻는다. 
$$ V_p-V_f = \frac{kT_e}{2e} \left( \text{ln} \left( \frac{ m_i}{2\pi m_e} \right)+1 \right) = \frac{T_e \left[ V \right]}{2} \left[ \text{ln} \left( \frac{ m_i}{2\pi m_e} \right)+1 \right] $$
 
수소의 경우 로그값이 약 5.4, 아르곤의 경우 약 9.4로 알려져있다. 아르곤의 경우 여기에 1을 더하고 2로 나누면 플로팅 전위를 $5.2T_e$로 구할 수 있다. 즉, 전자 온도가 3 eV라면, 플라즈마 기준 플로팅 전위는 15.6 V가 되는 것이다. 
 
전쉬스의 두께는 대략 평균자유거리(MFP)의 거리와 비슷하다. 보통 전자 온도로 표현되는 봄 속도는 이온의 열속도보다 훨씬 높기 때문에 이온, 중성종들과 같이 질량이 비슷한 종들과 충돌하면 에너지를 크게 빼앗기게 된다. 따라서 충분히 가속되기 위해서는 평균자유거리 정도의 두께에 형성된 전기장에 의해 가속되어 봄 속도를 얻는것이다.