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오늘은 디스크에 균일하게 입사하는 열에 의한 열응력을 계산해보고자 합니다. 

 

형상 및 가정

- 원형 디스크, 반지름 $R$

- 얇은 평판 → plane stress 조건

- 축대칭 (모든 물리량은 r에만 의존, $\theta$ 에 무관)

- 온도 분포: $T=T(r)$

- 재료는 선형 탄성, 등방성

- 구속 조건은 내부 응력만으로 평형을 이룬다고 가정 (즉, 외력 없이도 내부 응력 존재) 

 

1. 변형률 - 변위(Strain - Displacement) 관계

축대칭이므로, 변위는 반지름 방향으로만 존재하므로 u=u(r)이며, strain은 다음과 같다. 

$$\epsilon_r = du/dr, \epsilon = u/r$$

$\epsilon = u/r$ 은 원주방향 strain이기 때문에, 원주가 반경방향으로 팽창함에 따른 원주의 길이 증가를 생각하면 된다. 

단위 원주를 $L_0 = r \cdot d\theta$ 이라고 할때, 축대칭 팽창하게 되면 이 단위 원주는 $L=(r+u(r)) \cdot d\theta$가 되므로, 변형률은 $ \epsilon = (L-L_0)/L = u/r $이 된다. 

 

2. Stress-strain 관계

등방성재료에서 열팽창이 없는 경우의 일반적인 Hooke's law는 다음과 같다. 

$$\sigma_r= \frac{E}{1-\nu^2} (\epsilon_r + \nu \epsilon_\theta) $$

$$\sigma_\theta=\frac{E}{1-\nu^2} (\epsilon_\theta + \nu \epsilon_r) $$

 

여기서 자유열팽창을 빼서 기계적 strain만을 고려하게 되면 다음과 같아진다. 

$$\sigma_r= \frac{E}{1-\nu^2} (\epsilon_r + \nu \epsilon_\theta - \alpha(1+\nu)T(r)) $$

$$\sigma_\theta=\frac{E}{1-\nu^2} (\epsilon_\theta + \nu \epsilon_r - \alpha(1+\nu)T(r) ) $$

 

3. 요소에 대한 힘평형방정식

 

$$ \frac{d\sigma_r}{dr} + \frac{\sigma_r-\sigma_\theta}{r} = 0 $$

$rd\theta, dr, (r+dr)\theta$ 로 구성된 고리의 미소요소에 $\sigma_r (r), \sigma_\theta, \sigma_r (r+dr) $을 넣고 힘평형 방정식을 세우면 구할 수 있다. 

 

4. 미분방정식 구성

$$ \frac{d^2u}{dr^2}+\frac{1}{r}\frac{du}{dr}-\frac{u}{r^2}=\frac{(1+\nu)\alpha}{1-\nu}(\frac{dT}{dr}+\frac{\nu}{r}T) $$

u에 대해서 stress와 strain을 정리하며 구성하면 위 미분방정식을 얻을 수 있다. 

 

5. 미분방정식의 해

$$ \sigma_r (r) = \frac{E\alpha}{1-\nu}[\frac{1}{r}\int_0^r T(\rho)d\rho+\nu \int_r^R \frac{T(\rho)}{\rho} d\rho - T(r)] $$

$$ \sigma_\theta (r) = \frac{E\alpha}{1-\nu}[\frac{1}{r}\int_0^r T(\rho)d\rho+\nu \int_r^R \frac{T(\rho)}{\rho} d\rho - \nu T(r)] $$

 

 

예제: 균일 입사열 온도 구배에 따른 응력 분포

$$T(r) = T_0+ \Delta T(1- \frac{r^2}{R^2}) $$

 

$$ \sigma_r (r) = \frac{E\alpha\Delta T}{1-\nu}(\frac{1-2(r/R)^2}{4}) $$

$$ \sigma_\theta (r) = \frac{E\alpha\Delta T}{1-\nu}(\frac{1+2(r/R)^2}{4}) $$