Meow Engineering

플라즈마에서는 전자가 이온보다 이동성이 훨씬 크다. 왜냐하면 전자가 이온에 비해서 매우 가볍기 때문이다. 이에 따라서 벽에 전자가 먼저 흡수가 되고, 부족해진 전자로 인해 높아진 전위의 영향을 받아서 이온이 벽으로 흡수된다. 높아진 전위는 이온을 가속시켜 결과적으로 이온 전류와 전자 전류가 균형을 이루게 된다. 이온에 비해서 전자의 속도가 매우 빠르기 때문에 선속 일치를 위해서 이온의 밀도가 전자의 밀도보다 벽 부근에서 더 커지게 된다. 그리고 이러한 이온과 전자의 밀도 차이는 전기장을 만들게 된다. 

$$ \nabla ^2 V = -\frac{e}{\epsilon_0}(n_i-n_e) $$

쉬스에서는 어디에서나 이온이 전자보다 더 많기 때문에 $ \nabla^2 V $는 0보다 작아서, 플라즈마의 전위분포는 플라즈마 내부를 중심으로 위로 볼록하고 매끄러운 분포를 가진다. 그리고 이 전위 분포는 전기장이 항상 벽으로 향하도록 만든다. 따라서 벽 부근으로 갈수록 벽방향 전기장의 영향으로 이온은 가속되지만 이온 플럭스 $\Gamma _i = n_i v_i$은 일정하므로 이온의 밀도는 낮아지게 된다. 

플라즈마 전위는 플라즈마 내부가 가장 높기 때문에 전자의 경우 포텐셜 우물 안에 갇히게 된다. 그러나 맥스웰-볼츠만 분포에서 꼬리에 해당하는 고에너지 전자는 포텐셜 우물을 뚫고 나갈 수 있다. 이렇게 나가는 고에너지 전자가 만들어내는 전류와 이온 전류가 균형을 이루고, 나머지 전자는 포텐셜 우물에 갇히게 되며 플라즈마가 유지되는 것이다. 

이온은 쉬스에 진입하는 최소 속도를 가지게 된다. 이온의 속도가 너무 느리면 $n_i - n_e$가 커지므로 푸아송 방정식에 따라 $ \nabla^2 V $는 커진다. 그러나 운동방정식에 의해 전기장은 작을 수 밖에 없는 모순에 처하게 된다. 이러한 모순을 플라즈마 내부에서 self-organized 하며 생겨나는 현상이 봄 속도(Bohm velocity)이다. 플라즈마 내부의 Self-organizing은 전자의 확산으로 인한 전하 불균형을 막기위해 전기장이 형성되고, 이 전기장에 의해 이온이 가속되어 쉬스에서 이온이 봄 속도에 이르게 만들어 안정화시킨다. 

봄 속도를 구하는 과정은 위의 과정을 수식화하면 구할 수 있다. 푸아송 방정식의 우변의 $n_i-n_e$는 전기장이 항상 벽을 향할 수 있도록 언제나 0보다 커야한다. $n_e$는 볼츠만 관계로 정해지고, $n_i$는 선속보존식과 에너지 보존식에 의해 표현할 수 있다. 

$$\Gamma_i=n_i u_i=n_s u_s $$

$$\frac{1}{2} M_i u_i^2 + eV = \frac{1}{2} M_i u_s ^2  \rightarrow n_i = n_s \sqrt{(1-\frac{2eV}{M_i u_s^2})} $$

쉬스 근처라면 전위로부터 얻은 에너지가 0에 가까울 것이기 때문에 쉬스에서의 운동에너지와 포텐셜에너지 비율 $\frac{eV}{\frac{1}{2} M_i u_s^2} $은 1보다 작을 것이다. 이에 따라 테일러 근사를 적용하면 다음과 같다. 

$$ n_i = n_s (1+ \frac{eV}{M_i u_s^2}+ ...) $$

한편 볼츠만 관계에 따라서 $n_e = n_s e^{\frac{eV}{kT_e}} \approx n_s(1+ \frac{eV}{kT_e}+...) $이므로, $n_i$가 $n_e$보다 항상 크려면 $ \frac{eV}{M_i u_s^2} > \frac{eV}{kT_e} $가 되어야 하고, 따라서 다음 관계식을 만족해야 한다. 

$$u_s > \sqrt{ \frac{kT_e}{M_i}} $$

이 속도가 봄 속도이다. 이온이 봄 속도 이상으로 들어와야 쉬스 초반부터 푸아송 방정식이 항상 0보다 작은 조건이 만족 되는 것이다. 봄 속도는 외부에서 강제적으로 주어지는 것이 아니라 플라즈마 내부에서 자발적으로 형성된 전위 구조가 만들어내는 자연스러운 결과이다. 플라즈마 내부에서는 흘러나가는 전자에 의해 생긴 전위에 따라서 이온이 자연스럽게 가속되며 벽을 향하게 되는데 이때의 속도가 봄 속도가 되는 것이다. 

봄 속도를 자세히 보면 쉬스에 입사하는 이온의 운동에너지가 $\frac{1}{2} M_i u_s^2 = \frac{1}{2} kT_e $로 표현된다는 것을 알 수 있다. 일반적으로 전자온도는 이온온도보다 훨씬 높기 때문에 이온이 어디선가 전자온도만큼의 에너지를 얻었다고 볼 수 있다. 따라서 쉬스 앞에 전위차 $ V_pre = \frac{kT_e}{2e}$ 가 존재하는 공간이 있는것을 예상할 수 있는데, 이 공간을 전쉬스(presheath)라고 한다. 

다음 시간에는 전쉬스와 플로팅 전위에 대해 자세히 알아보겠다.