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플라즈마에서는 전자가 이온보다 이동성이 훨씬 크다. 왜냐하면 전자가 이온에 비해서 매우 가볍기 때문이다. 이에 따라서 벽에 전자가 먼저 흡수가 되고, 부족해진 전자로 인해 높아진 전위의 영향을 받아서 이온이 벽으로 흡수된다. 높아진 전위는 이온을 가속시켜 결과적으로 이온 전류와 전자 전류가 균형을 이루게 된다. 이온에 비해서 전자의 속도가 매우 빠르기 때문에 선속 일치를 위해서 이온의 밀도가 전자의 밀도보다 벽 부근에서 더 커지게 된다. 그리고 이러한 이온과 전자의 밀도 차이는 전기장을 만들게 된다. 

$$ \nabla ^2 V = -\frac{e}{\epsilon_0}(n_i-n_e) $$

쉬스에서는 어디에서나 이온이 전자보다 더 많기 때문에 $ \nabla^2 V $는 0보다 작아서, 플라즈마의 전위분포는 플라즈마 내부를 중심으로 위로 볼록하고 매끄러운 분포를 가진다. 그리고 이 전위 분포는 전기장이 항상 벽으로 향하도록 만든다. 따라서 벽 부근으로 갈수록 벽방향 전기장의 영향으로 이온은 가속되지만 이온 플럭스 $\Gamma _i = n_i v_i$은 일정하므로 이온의 밀도는 낮아지게 된다. 

플라즈마 전위는 플라즈마 내부가 가장 높기 때문에 전자의 경우 포텐셜 우물 안에 갇히게 된다. 그러나 맥스웰-볼츠만 분포에서 꼬리에 해당하는 고에너지 전자는 포텐셜 우물을 뚫고 나갈 수 있다. 이렇게 나가는 고에너지 전자가 만들어내는 전류와 이온 전류가 균형을 이루고, 나머지 전자는 포텐셜 우물에 갇히게 되며 플라즈마가 유지되는 것이다. 

이온은 쉬스에 진입하는 최소 속도를 가지게 된다. 이온의 속도가 너무 느리면 $n_i - n_e$가 커지므로 푸아송 방정식에 따라 $ \nabla^2 V $는 커진다. 그러나 운동방정식에 의해 전기장은 작을 수 밖에 없는 모순에 처하게 된다. 이러한 모순을 플라즈마 내부에서 self-organized 하며 생겨나는 현상이 봄 속도(Bohm velocity)이다. 플라즈마 내부의 Self-organizing은 전자의 확산으로 인한 전하 불균형을 막기위해 전기장이 형성되고, 이 전기장에 의해 이온이 가속되어 쉬스에서 이온이 봄 속도에 이르게 만들어 안정화시킨다. 

봄 속도를 구하는 과정은 위의 과정을 수식화하면 구할 수 있다. 푸아송 방정식의 우변의 $n_i-n_e$는 전기장이 항상 벽을 향할 수 있도록 언제나 0보다 커야한다. $n_e$는 볼츠만 관계로 정해지고, $n_i$는 선속보존식과 에너지 보존식에 의해 표현할 수 있다. 

$$\Gamma_i=n_i u_i=n_s u_s $$

$$\frac{1}{2} M_i u_i^2 + eV = \frac{1}{2} M_i u_s ^2  \rightarrow n_i = n_s \sqrt{(1-\frac{2eV}{M_i u_s^2})} $$

쉬스 근처라면 전위로부터 얻은 에너지가 0에 가까울 것이기 때문에 쉬스에서의 운동에너지와 포텐셜에너지 비율 $\frac{eV}{\frac{1}{2} M_i u_s^2} $은 1보다 작을 것이다. 이에 따라 테일러 근사를 적용하면 다음과 같다. 

$$ n_i = n_s (1+ \frac{eV}{M_i u_s^2}+ ...) $$

한편 볼츠만 관계에 따라서 $n_e = n_s e^{\frac{eV}{kT_e}} \approx n_s(1+ \frac{eV}{kT_e}+...) $이므로, $n_i$가 $n_e$보다 항상 크려면 $ \frac{eV}{M_i u_s^2} > \frac{eV}{kT_e} $가 되어야 하고, 따라서 다음 관계식을 만족해야 한다. 

$$u_s > \sqrt{ \frac{kT_e}{M_i}} $$

이 속도가 봄 속도이다. 이온이 봄 속도 이상으로 들어와야 쉬스 초반부터 푸아송 방정식이 항상 0보다 작은 조건이 만족 되는 것이다. 봄 속도는 외부에서 강제적으로 주어지는 것이 아니라 플라즈마 내부에서 자발적으로 형성된 전위 구조가 만들어내는 자연스러운 결과이다. 플라즈마 내부에서는 흘러나가는 전자에 의해 생긴 전위에 따라서 이온이 자연스럽게 가속되며 벽을 향하게 되는데 이때의 속도가 봄 속도가 되는 것이다. 

봄 속도를 자세히 보면 쉬스에 입사하는 이온의 운동에너지가 $\frac{1}{2} M_i u_s^2 = \frac{1}{2} kT_e $로 표현된다는 것을 알 수 있다. 일반적으로 전자온도는 이온온도보다 훨씬 높기 때문에 이온이 어디선가 전자온도만큼의 에너지를 얻었다고 볼 수 있다. 따라서 쉬스 앞에 전위차 $ V_pre = \frac{kT_e}{2e}$ 가 존재하는 공간이 있는것을 예상할 수 있는데, 이 공간을 전쉬스(presheath)라고 한다. 

다음 시간에는 전쉬스와 플로팅 전위에 대해 자세히 알아보겠다. 

플라즈마 물리, 기체 방전, 저온 플라즈마 공정 등에서는 입자 간 충돌을 통한 에너지 전달 메커니즘이 시스템 거동을 결정짓는 핵심 요소로 작용합니다. 본 글에서는 전자-중성 입자 충돌 및 전자-전자 충돌을 중심으로 에너지 전달 특성과 열역학적 의미를 정리합니다.

1. 전자-중성 기체 충돌 (Electron-neutral Collisions)

전자와 중성 기체 분자 사이의 충돌은 크게 두 가지로 나뉩니다.

1.1 탄성 충돌 (Elastic Collisions)

• 정의: 충돌 후에도 중성 입자의 에너지 상태가 변하지 않음.
• 에너지 전달 특성:
  • 전자의 운동 에너지는 거의 보존.
  • 전자 방향만 변화, 속도는 거의 일정.
  • 이유: 전자 질량이 중성 입자보다 매우 작아 운동량 전달이 비효율적.

1.2 비탄성 충돌 (Inelastic Collisions)

• 정의: 전자가 중성 입자를 들뜨게 하거나 전리시킴.
• 에너지 전달 특성:
  • 전자의 운동 에너지가 들뜸 에너지 또는 전리 에너지로 전환.
  • 전자 에너지가 감소하며, 중성 입자는 에너지 상태 변화.
• 결과:
  • 다수의 비탄성 충돌 누적 시 플라즈마 상태로 전이 가능.

2. 전자-전자 충돌 (Electron-electron Collisions)

전자 간 충돌은 전자 밀도가 높을 때 중요성이 커집니다.

2.1 조건

• 고밀도 플라즈마 환경 (예: 토카막, 레이저 플라즈마).
• 전자 간 평균 자유 경로 감소 → 충돌 빈도 증가.

2.2 에너지 전달 특성

• 쿨롱 상호작용에 의한 운동 에너지 재분배.
• 고에너지 전자가 저에너지 전자에게 에너지 전달 → 분포 함수 평탄화.
• 전자들은 열적 평형에 빠르게 도달하며, 맥스웰-볼츠만 분포 수렴.

3. 전자와 무거운 입자의 독립적인 열역학 거동

플라즈마 내 전자와 이온/중성자 사이의 열역학적 거동 차이는 다음과 같은 물리적 원인에서 비롯됩니다.

3.1 질량 차이에 따른 충돌 시간 차이

• 전자는 질량이 작아 빠르게 반응하고 열평형에 빠르게 도달.
• 무거운 입자는 운동이 느리고, 전자와의 에너지 교환도 비효율적.
• 결과적으로 서로 다른 온도 상태 형성 (Tₑ ≠ Tₕ).

3.2 비평형 상태 (Non-equilibrium Plasma)

• 특히 저압 조건에서는 에너지 전달이 제한되어 열적 비평형 심화.
• 전자: 높은 온도(Tₑ) / 무거운 입자: 낮은 온도(Tₕ) 상태 유지.

4. 모델링 관점: Two-Temperature 모델

전자와 무거운 입자를 서로 다른 열역학적 시스템으로 분리하여 모델링하는 방식.

• 전자 시스템:
  • 높은 에너지 → 이온화, 들뜸, 화학 반응 유도
• 무거운 입자 시스템:
  • 낮은 에너지 → 압력, 흐름, 물질 수송 주도

이 접근법은 특히 공정 플라즈마(예: 반도체 가공, 스퍼터링) 환경에서 다음과 같은 조건에서 유효합니다:

• 낮은 압력
• 질량 차이
• 열적 비평형

5. 요약

결론

전자와 무거운 입자는 질량 차이로 인해 에너지 교환 시간 스케일이 다르며, 결과적으로 플라즈마 내에서 독립적인 열역학적 시스템으로 모델링하는 것이 유효합니다. 특히 저온 비평형 플라즈마에서는 이러한 두 시스템 간의 온도 차이를 고려한 Two-Temperature 모델이 실제 공정 예측에 필수적인 접근 방식으로 자리 잡고 있습니다.